光量子コンピュータのための量子テレポーテーションの基礎 – 第2章：古典力学・量子力学の基本的な考え方、量子力学の数学的な扱い

2.2 量子力学の数学的な扱いと固有値・固有ベクトル

量子力学における数学的要請は、シュレーディンガー方程式によって記述される。

$$\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$$

ここで $\hat{H}$ はエネルギー演算子（ハミルトニアン）、$|\psi\rangle$ はシステムの状態を表す状態ベクトルである。物理量（位置、運動量など）に対応する演算子を $\hat{A}$（エルミート演算子）とすると、その固有ベクトルを $|a\rangle$ 、固有値を a としたとき、以下の固有値方程式が成り立つ。

$$\hat{A}|a\rangle = a|a\rangle$$

状態ベクトル $|\psi\rangle$ が与えられたとき、固有ベクトル $|a\rangle$ との組み合わせ（内積）を計算することで波動関数 ψ(a) = ⟨a$|\psi\rangle$ が得られ、その絶対値の2乗 $|\psi(a)|^2$ がその物理量を測定した際に値 a が得られる確率分布を与える。

2.3 交換関係と不確定性原理

2つの物理量 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ が同時に確定した状態が存在するかどうかは、それらの演算子の交換関係によって定まる。

$$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} – \hat{B}\hat{A}$$

交換関係が 0 である場合（$[\hat{A}, \hat{B}] = 0$）、これらは同時に確定した状態が存在可能である（同時確定可能）。しかし、交換関係が 0 でない場合（$[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0$）、これらは同時に確定することはできず（同時確定不可能）、不確定性関係（不確定性の原理）が支配する。最も代表的な例は、位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ であり、これらの間には以下の交換関係が成立する。

$$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$$

この非ゼロの交換関係から、位置のばらつき（標準偏差）$\Delta x$ と運動量のばらつき $\Delta p$ の間には、物理的要請として以下の不確定性関係が強制される。

$$\Delta\hat{x} \Delta\hat{p} \ge \frac{\hbar}{2}$$

これにより、位置と運動量を同時に無限の精度で確定させる量子状態は存在し得ないことが示される。